1. 微分流形的概念
从我们学过的《多元微积分》中，可以提取出如下记忆的碎片：
如果 n 维欧氏空间 Rⁿ 上的 多元函数 f: Rⁿ → R，存在任意阶连续偏导，则称 f 为光滑函数。将 Rⁿ 上 的全体光滑函数，记为：C^∞。
给定任意 光滑 f ∈ C^∞，在任意一点 x = (x¹, ..., xⁿ) ∈ Rⁿ 处的 增量函数（Δx = (Δx¹, ..., Δxⁿ) ∈ Rⁿ）：
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在 x 点的 附近的邻域 U 内，近似于 一个 称为 f 的（全）微分 的 线性函数：
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即，有（全）微分式：
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其中，o(ρ) 称为 ρ 的无穷小量，满足：
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注：这里 变量 的上标，和 变量下标一样，表示变量序号而非指数。
设，e₁ = (1, 0, ..., 0), ..., e_n = (0, ..., 0, 1) 是 Rⁿ 的标准单位正交基，则 Δx 可以表示为：
Δx = Δx¹e₁ + ... + Δxⁿe_n
再根据 线性函数的性质（对于任意 Δx, Δy ∈ Rⁿ, λ ∈ R）：
A(Δx + Δy) = A(Δx) + A(Δy)
A(λΔx) = λA(Δx)
有，
df = A(Δx) = A(Δx¹e₁ + ... + Δxⁿe_n) = Δx¹A(e₁) + ... + ΔxⁿA(e_n)
当 A 确定是，A(e₁), ..., A(e_n) 都是 常数，令，K₁ = A(e₁), ..., K_n = A(e_n)，于是 f 的微分 可以改写为：
df = K₁Δx¹ + ... + K_nΔxⁿ
对于任意 Kᵢ，令 Δxʲ = 0 (j ≠ i) ，则，
|Δx| = √(Δx⋅Δx) = √(Δx¹Δx¹ + ... + ΔxⁿΔxⁿ) = √(Δxⁱ Δxⁱ ) = |Δxⁱ |
进而 从 f 的 微分式 得到：
Δf = KᵢΔxⁱ + o(|Δxⁱ |)
Kᵢ = Δf /Δxⁱ - o(|Δxⁱ |)/Δxⁱ
然后，等式两边取极限，有，
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令，
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则，最终 f 的微分，改写为：
" height="480" width="55" />
特别地，当 n = 1，即， f 是一元函数，时，有，
df = f' Δx
考虑 R¹ 上的 一元函数 y = x，y 的微分为，
dy = y'Δx = 1Δx = Δx
而，因为 y = x，所以，
dy = dx
于是我们得到：
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最终， f 的微分 改写为：
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可以证明如下引理：
对于经过 x ∈ Rⁿ 点 的 任意 光滑函数 f ∈ C^∞ ，存在 一组光滑函数 gᵢ ∈ C^∞ （i = 1, ..., n） 满足：
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并且，对于 x 附近邻域 U 内任意 一点 u = (u¹, ..., uⁿ) ，都有：
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令 u = x + Δx，则 上面的引理，可改写为：
" height="480" width="56" />
如果，将 dx¹, ..., dxⁿ 看做 一组基，C^∞ 中的 光滑函数 标量，则 上面的结果 表明：任意一个 x 点处 的增量函数 Δf，在 U 内可以被 dx¹, ..., dxⁿ 线性表示。
于是，以 dx¹, ..., dxⁿ 为基 以 C^∞ 中的 光滑函数 为 标量，可以张成 一个 n维线性空间，记为 V¹。它是 U 内 x 点处的 增量函数 的 全体。对于任意 ω ∈ V¹，都有：
ω = g₁dx¹ + ... + g_ndxⁿ
称为 1 次微分形式。
一般我们不去讨论 dxⁱ 本身的意义只是看做一个形式，但是如果深究，则可以考虑 下标函数：eⁱ(x) = xⁱ有，
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定义 任意 微分形式 ω₁ 和 ω₂ 之间的 一种 以 ∧ 为运算符号的， 称为 外积（楔乘）的 运算：
ω₁ ∧ ω₂
满足（对于 任意 ω₁, ω₂, ω₃ ∈ V¹, g ∈ C^∞）：
结合律： (ω₁ ∧ ω₂) ∧ ω₃ = ω₁ ∧ (ω₂ ∧ ω₃) = ω₁ ∧ ω₂ ∧ ω₃；
与数乘可交换：(gω₁) ∧ ω₂ = g(ω₁∧ω₂) = ω₁ ∧ (gω₂) ；
分配律：(ω₁ + ω₂) ∧ ω₃ = ω₁ ∧ ω₃ + ω₂ ∧ ω₃, ω₁ ∧ (ω₂ + ω₃) = ω₁ ∧ ω₂ + ω₁ ∧ ω₃；
反交换律：ω₁ ∧ ω₂ = - ω₂ ∧ ω₁；
对于 任意 ω ∈ V¹，根据反交换律 有：
ω ∧ ω = - ω ∧ ω
进而，
ω ∧ ω + ω ∧ ω = 0
(1 + 1)ω ∧ ω = 0
2ω ∧ ω = 0
ω ∧ ω = 0
因此，
dxⁱ ∧ dxⁱ = 0
这样以来，对于任意 两个 1 次微分形式：
ω₁ = g¹₁dx¹ + ... + g¹_ndxⁿ
ω₂ = g²₁dx¹ + ... + g²_ndxⁿ
之间的 楔乘 为：
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令，
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得到：
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这个称为 2 次微分形式。
类似地，通过 k 个 1次微分形式 的 楔乘，可以得到 k 次 微分形式：
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将，k 次微分形式的全体，记为 V²，它是 以 C(n, k) 个：
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为 基 的 C(n, k) 维 线性空间。
由于 dxⁱ ∧ dxⁱ = 0，所以，当 k = n 时，Vⁿ 的积 只有一个：
dx¹ ∧ ⋯ ∧ dxⁿ
而，当 k > n 时，Vᵏ = {0}。
为了，一致性，我们令 V⁰ = C^∞，显然 1 是 V⁰ 的基，有，
1 ∧ dxⁱ = dxⁱ
而 光滑函数：
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就是， 0 次 微分形式。
回到开始，观察，光滑函数 f 微分 df，对于 每一个 f ∈ V⁰，都有一个 df ∈ V¹，因此 微分其实就是， V⁰ 到 V¹ 的算子，即，
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利用，这个结论，我们可以将 微分算子扩展到 d: Vᵏ → Vᵏ⁺¹，定义如下：
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特别地，d(dxⁱ ) = 0，因为 dxⁱ = 1dxⁱ ，故，
d(dxⁱ )= d1∧dxⁱ = 0∧dxⁱ = 0⋅1∧dxⁱ = 0(1∧dxⁱ) = 0 dxⁱ = 0
事实上，对于任意 k 次 微分形式 ω 都有：
d(dω) = 0
这称为 庞加莱 引理。
利用，微分形式我们可以得到 斯托克斯（Stokes） 公式： 设 D 是 Rⁿ 上 一个 k ( 0< k ≤ n) 维度 区域， ∂D为 D 诱导定向的边缘，则 对于 任意 k - 1 次微分形式 ω，都有：
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以下，令 x = x¹, y = x², z = x³。
当 n = 2, p = 2 时，对于 1次微分形式，
ω = P dx + Q dy
有，
dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy
= (∂P/∂x dx + ∂P/∂y dy) ∧ dx + (∂Q/∂x dx + ∂Q/∂y dy) ∧ dy
= ∂P/∂x dx ∧ dx + ∂P/∂y dy ∧ dx + ∂Q/∂x dx ∧ dy + ∂Q/∂y dy ∧ dy
= 0 - ∂P/∂y dx ∧ dy + ∂Q/∂x dx ∧ dy + 0
= (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dx ∧ dy
于是，Stokes 公式 为：
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这就是 《高等数学》中的 格林公式。
当 n = 3， p = 2 时，则 对于 1次微分形式，
ω = P dx + Q dy + R dz
有，
dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy + R ∧ dz
= (∂P/∂x dx + ∂P/∂y dy + ∂P/∂z dz) ∧ dx + (∂Q/∂x dx + ∂Q/∂y dy + ∂Q/∂z dz) ∧ dy + (∂R/∂x dx + ∂R/∂y dy + ∂R/∂z dz) ∧ dz
= P/∂y dy ∧ dx + ∂P/∂z dz ∧ dx + ∂Q/∂x dx ∧ dy + ∂Q/∂z dz ∧ dy + ∂R/∂x dx ∧ dz + ∂R/∂y dy ∧ dz
= - P/∂y dx ∧ dy + ∂P/∂z dz ∧ dx + ∂Q/∂x dx ∧ dy - ∂Q/∂z dy ∧ dz - ∂R/∂x dz ∧ dx + ∂R/∂y dy ∧ dz
= (∂Q/∂x - P/∂y)dx ∧ dy + (∂R/∂y - ∂Q/∂z)dy ∧ dz + ( ∂P/∂z - ∂R/∂x) dz ∧ dx
于是，Stokes 公式 为：
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这就是 《高等数学》中的 斯托克斯公式。
当 n = 3, p = 3 时，对于 2次微分形式，
ω = P dx ∧ dy + Q dy ∧ dz + R dz ∧ dx
有，
dω = dP ∧ dx ∧ dy + dQ ∧ dy ∧ dz + dR ∧ dz ∧ dx
= ∂P/∂z dz ∧ dx ∧ dy + ∂Q/∂x dx ∧ dy ∧ dz + ∂R/∂y dy ∧ dz ∧ dx
= (∂Q/∂x + ∂R/∂y + ∂P/∂z) dx ∧ dy ∧ dz
于是，Stokes 公式 为：
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这就是 《高等数学》中的 高斯公式。
当 n = 1， p = 1 时，对于 0 次微分形式，
ω = F(x)
令 f(x) = F'(x) 有，
dω = F'(x) dx = f(x) dx
于是，再令 D = [a, b]，Stokes 公式 为：
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这就是 《高等数学》中的 牛顿-莱布尼兹公式。
以面，用 微分形式 表示 重积分，例如，
" height="480" width="56" />
比《高等数学》中 的 重积分的表示方法，例如，
" height="480" width="57" />
更加合理。因为，当 x = x(u, v), y = y(u, v) 时，有：
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偰乘规则刚好 符合 重积分的 换位法。
最后，令 G(V) 是 V⁰, V¹, ..., Vⁿ 的直和，即，
G(V) = V⁰ ⊕ V¹ ⊕ V² ⊕ ⋯ ⊕ Vⁿ
则 ∧ 可自然地扩展到 G(V) 上，这称为 外代数 或 Gassmann 代数。同样 微分算子 d 也可以扩展到 G(V) 上。
小石头，在回答“外代数那些内容看不懂？” 中 给大家介绍 过 通过 反对称的张量 构造 外代数 实例 的方法，而这里， 微分形式 又是 另外 一个 重要的 外代数 实例。
以上，小石头 仅仅是 向大家展示了 微分形式的 定义 和 最基本的性质 和 应用， 微分形式 的 最重要应用 是 嘉当 在 《微分几何》 中引入的 活动标架，陈省身和老师 都是玩 微分形式的 大师。关于 《微分几何》有很多有趣的内容，以后有机会再慢慢讲给大家！
（由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！）
2. 微分流形的概念是什么
就是多维空间 Riemannian geometry 黎曼流形上的几何学。
德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。（gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦茨几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。3. 微分流形初步 pdf
即渗透。数学上，浸入是微分流形之间的可微映射，其导数处处是单射。确切而言，f: M → N是浸入，若在M中每一点p。
都是单射。（TpX表示X在点p处的切空间。另一个等价说法是f是浸入，若f的秩是常数，且等于M的维数。
以上只要求f的导数为单射，但映射f未必是单射。一个与浸入相关的概念是嵌入。光滑嵌入是一个单射浸入f: M → N而同时为拓扑嵌入，使得M与其在N中的像微分同胚。浸入正是局部嵌入，即对M中每一点x都有一个x的邻域U ⊂ M，使得f: U → N是嵌入。相反地，局部嵌入都是浸入。
若M是紧致的，则单射浸入是一个嵌入；若M不是紧致，则未必成立。这两者的关系就如同连续双射之于同胚。
4. 微分流形考试题及答案
是欧姆定律吧
我们在探究“导体的电流跟电压、电阻的关系”实验中，得到以下实验结论：
在电阻一定的情况下，通过导体的电流跟这段导体两端的电压成正比；
在电压一定的情况下，通过导体的电流跟导体的电阻成反比。
早在19世纪初，德国物理学家欧姆经过十年的不懈努力，最先通过实验归纳出了：
导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比。
人们为了纪念他，就把这个规律叫做欧姆定律(Ohm law)
5. 微分流形先修课程
微分流形是现代数学中一个非常重要的概念，简单来说，它是欧式空间的推广，是一种更为抽象和一般的“空间”。经过一百多年的发展，它已经被广泛应用于数学和物理中，借助对微分流形的研究，我们对“空间”有了更为深入的了解和刻画。
学过拓扑的同学应该都知道拓扑流形这个概念，拓扑流形指的就是“局部”同胚于欧式空间的拓扑空间，一般情况下为了适应需要，往往还要求这个拓扑空间满足分离性质(也就是豪斯多夫公理)和具有可数拓扑基。这里还需要解释一下“局部”是个什么意思，这指的就是对任意一个点，存在它的一个邻域，这个邻域和欧式空间同胚。这里我们所考虑的拓扑流形是无边的，对于一些有边流形来说，我们就无法要求它们的边界点有邻域同胚于欧式空间，所以在这种情况下，同胚的对象会以欧式空间的上半空间来代替整个欧式空间。
6. 微分流形需要什么基础
它主要包括近世代数与拓扑、非线性泛函分析、微分流形及其应用、偏微分方程的现代理论和小波分析等五个方面的内容。
现代数学基础现代数学的精神是：在集合论的基础上,用集合和映射的语言和符号将各种数学理论抽象为 一些结构。
现代数学的基础：群论、拓扑和泛函一般认为,数学有三大主要方向,代数、几何与分析。
7. 流形和微分流形
概形(scheme)代数几何的基本研究对象。它实际上就是一个局部同构于仿射概形的局部环空间.更精确地，概形(X,Ox)是一个环空间，其拓扑空间X有一个开覆盖{X,. },.E}，使得(X;,Ox}X)同构于仿射概形Spec T (X; , Ox(这样的覆盖称为仿射开覆盖)。
定义(X,Ox)给定一个局部戴环空间，x的一个开集v称为仿射开集，如果(X,Ox｜v)是仿射概形。一个局部戴环空间(X,Ox)称为概形，如果的每一点都有仿射开邻域，即包含的仿射开集。
直观上说，概形是由仿射概形粘起来得到的，正如流形是由欧几里得空间粘起来得到的。
两个概形之间的态射就是它们作为局部戴环空间的态射。
流形（Manifold），是局部具有欧氏空间性质的空间。 而实际上欧氏空间就是流形最简单的实例。像地球表面这样的球面是一个稍为复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。
流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的最自然的舞台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。他们也用于位形空间(configuration space)。环面(torus)就是双摆的位形空间。
如果把几何形体的拓扑结构看作是完全柔软的，因为所有变形(同胚)会保持拓扑 结构不变，而把解析簇看作是硬的，因为整体的结构都是固定的(譬如一个1维多项式，如果你知道(0,1)区间的取值，则整个实属范围的值都是固定的,局部的扰动会导致全局的变化)，那么我们可以把光滑流形看作是介于两者之间的形体，其无穷小的结构是硬的，而整体结构是软的。这也许是中文译名流形的原因(整体的形态可以流动),该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理上的模型。